7. Электроемкость проводников и конденсаторов

Найдите емкость шарового проводника радиуса R1, окруженного прилегающим к нему концентрическим слоем диэлектрика проницаемости  и наружного радиуса R2 .

Способ 1. Сообщим проводнику заряд и найдем напряженность электрического поля в окружающем пространстве. Величина поля электрического смещения равна для , поэтому:

Напряжение проводника представим следующим выражением:

Величину емкости получим по определению из выражения:

Способ 2. Проводящий шар, окруженный диэлектриком, рассмотрим как систему последовательно соединенных сферических конденсаторов (см. рисунок). Используя результат упражнения 7.4, для величин емкостей получим: , . Емкость всей системы определится выражением

которое, конечно же, совпадает с результатом, полученным в 1 способе.

Плоский конденсатор

Пространство между обкладками плоского конденсатора заполнено диэлектриком, проницаемость которого зависит от расстояния x до одной из обкладок по закону , где 1 - постоянная, d - расстояние между обкладками. Площадь каждой обкладки S. Найдите емкость конденсатора.

Представим конденсатор, заполненный неоднородным диэлектриком, как бесконечную систему последовательно соединенных элементарных конденсаторов, емкость которых равна . Емкость всей системы определится выражением:

, из которого получим:

Сферический конденсатор

Найдите емкость сферического конденсатора, радиусы обкладок которого a и b, причем a < b, если пространство между обкладками заполнено диэлектриком, проницаемость которого зависит от расстояния r до центра конденсатора как , где .

Как и в предыдущем примере, сферический конденсатор с неоднородным, но сферически симметричным распределением диэлектрика можно представить как систему последовательно соединенных элементарных сферических конденсаторов с емкостями и найти емкость системы как .

Величина поля электрического смещения при этом будет равна , а напряженность этого поля определится выражением Величина напряжения, при этом, будет равна , а величина емкости .

Цилиндрический конденсатор

Найдите емкость цилиндрического конденсатора длины l, радиусы обкладок которого a и b, причем a < b, если пространство между обкладками заполнено диэлектриком, проницаемость которого зависит от расстояния r до оси конденсатора как , где .

Решение. Представим цилиндрический конденсатор, как последовательно соединенные элементарные конденсаторы с емкостью . Величина емкости всей системы элементарных конденсаторов найдется из соотношения

. Отсюда окончательно получим ответ:

Цилиндрический конденсатор имеет диаметр внешней обкладки .Каким должен быть диаметр внутренней обкладки , чтобы при заданном напряжении на конденсаторе напряженность электрического поля на внутренней обкладке была минимальной?

Решение. Величину напряженности электрического поля на внутренней обкладке найдем из следующих соотношений . Подстановка величины емкости цилиндрического конденсатора (см. упражнение 7.5), приводит к выражению:

Для нахождения экстремума найдем производную знаменателя (т.к. величина числителя имеет фиксированное значение)

Приравнивая ее нулю, найдем . В том, что это соответствует минимуму , можно убедиться, взяв вторую производную и определив ее знак при .

Соединение конденсаторов

Четыре конденсатора с емкостями и соединены так, как показано на рисунке. Какому соотношению должны удовлетворять емкости конденсаторов, чтобы разность потенциалов между точками и была равна нулю?

Решение. Так как на последовательно соединенных конденсаторах 1 и 2 заряд одинаков, то выполняется соотношение

Аналогичное соотношение должно выполняться для конденсаторов 3 и 4:

Для того, чтобы между точками и отсутствовала разность потенциалов, необходимо, чтобы осуществлялись равенства и . Разделив почленно соотношения выражающие равенства зарядов и сокращая на равные разности потенциалов, получим

Взаимная емкость

Очень далеко друг от друга находятся два проводника. Емкость одного из них C1, его заряд Q1. Емкость второго проводника C2, заряд Q2. Первоначально незаряженный конденсатор емкостью С подключают тонкими проводами к этим проводникам. Найдите заряд q конденсатора C.

Р ешение. После подключения конденсатора и установления электростатического равновесия заряды и потенциалы проводников и обкладок конденсатора будут такими как показано на рисунке. Потенциалы удаленных проводников будут связаны с зарядами на них соотношениями: , . Для напряжения на конденсаторе запишем соотношение:

из которого величина заряда конденсатора может получена алгебраически и представлена в виде: